Question

4．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$+$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+bx+c的圖象經過坐標原點，且在x=1處取得極大值．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若方程f（x）=0恰好有兩個不同的根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，根據函數的極值，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的極值，從而求出a的值，求出函數的解析式即可．

解答 解：（I）由f（0）=0，解得：c=0，
故f′（x）=x²+ax+b，f′（1）=0，得：b=-a-1，
∴f′（x）=（x-1）（x+a+1），
由f′（x）=0，解得：x=1或x=-a-1，因為當x=1時取得極大值，
所以-a-1＞1，得：a＜-2，所以a的范圍是（-∞，-2）；          …（5分）
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值-$\frac{1}{2}$a-$\frac{2}{3}$	遞減	極小值（$\frac{1}{6}$a+$\frac{2}{3}$）（a+1）2	遞增

依題意得：（$\frac{1}{6}$a+$\frac{2}{3}$）（a+1）²=0，解得：a=-4，
所以函數f（x）的解析式是：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x                     …（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．