Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=-f　（x），當0≤x≤1時，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）當-4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸圍成圖形的面積．
（3）求函數f（x）的解析式及單調區間．（不必寫推導過程）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法,函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x+2）=-f　（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函數f（x）是周期為4的函數．可得f（π）=f（π-4），利用f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（π）=-f（4-π）．由于當0≤x≤1時，f（x）=x．即可得出．
（2）設-1≤x≤0，則0≤-x≤1．當0≤x≤1時，f（x）=x，f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（x）=-f（-x）=-（-x）=x．令1≤x≤3，可得-1≤x-2≤1，
又f（x+2）=-f　（x），可得f（x）=-f（x-2）=-（x-2）=-x+2．再利用函數的周期性同理可得：f（x）=

x+4，-4≤x＜-3 -x-2，-3≤x＜-1 x，-1≤x≤1 -x+2，1＜x≤3 x-4，3＜x≤4

函數f（x）的圖象如圖所示，利用三角形的面積計算公式與x軸圍成圖形的面積即可得出．
（3）由（2）及其函數的奇偶性與周期性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x+2）=-f　（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數f（x）是周期為4的函數．
∴f（π）=f（π-4），
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（π-4）=-f（4-π），
∴f（π）=-f（4-π）．
當0≤x≤1時，f（x）=x．
∴f（π）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）設-1≤x≤0，則0≤-x≤1．
∵當0≤x≤1時，f（x）=x，f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-（-x）=x．
令1≤x≤3，
則-1≤x-2≤1，
又f（x+2）=-f　（x），
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）=-x+2．
再利用函數的周期性同理可得：3≤x≤4，f（x）=x-4．
-4≤x≤-3，f（x）=x+4；
-3≤x≤-1，f（x）=-x-2．
∴f（x）=

x+4，-4≤x＜-3 -x-2，-3≤x＜-1 x，-1≤x≤1 -x+2，1＜x≤3 x-4，3＜x≤4

函數f（x）的圖象如圖所示，
與x軸圍成圖形的面積S=

1

2

×2×1×4=4．
（3）由（2）可得：
f（x）=

(-1)k(x+2k)，x∈(-2k-1，-2k+1] x，x∈[-1，1] (-1)kx+(-1)k+12k，x∈(2k-1，2k+1]

．

點評：本題考查了考查了函數的奇偶性、周期性及其圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，考查了數形結合的思想方法，屬于難題．