Question

【題目】已知拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 的橫坐標(biāo)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)與線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件可求出線(xiàn)段的斜率，進(jìn)而求出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出線(xiàn)段的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可求出的表達(dá)式，再構(gòu)造新函數(shù)，即可求出最大值.

試題解析：（1）∵，有，又點(diǎn)M不在拋物線(xiàn)C上，有，而， ，

∴線(xiàn)段的斜率為 ，

∴線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即，

由得，

即，得， ，

∴點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）直線(xiàn)的方程為，

由得，

∵，∴，結(jié)合（1）得，

又， ，

∴ ，

又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

∴ ，

設(shè)， ，

則 ，

令得 (舍去)， ，

由于時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值，即的面積取得最大值，

故的面積的最大值為 ．