Question

設函數f（x）=x²-2|x|-3．
（1）畫出y=f（x）的圖象，并指出y=f（x）的單調遞增區間；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性，并求y=f（x）的值域；
（3）方程f（x）=k+1有兩解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,函數奇偶性的判斷,函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：（1）需將函數解析式改寫成分段函數后在畫圖；
（2）利用整體思想把|x|先看成整體，然后再去絕對值；
（3）方程有兩個解即函數y=f（x）和函數y=k+1的圖象有兩個交點，利用數形結合思想分析問題．

解答： 解（1）f（x）=x²-2|x|+1=

x2-2x+1，x≥0 x2+2x+1，x＜0

，圖象如圖（1）所示：

兩部分都是拋物線的一部分，對稱軸分別為x=-1、x=1，
f（x）的遞增區間為（-1，0），（1，+∞）
（2）∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x），∴f（x）是偶函數，
函數值域為[-4，+∞）
（3）由圖象（2）分析可知當方程f（x）=k+1有兩解時，k+1=-4或k+1＞-3，
∴k=-5或k＞-4

點評：本題只要考查分段函數以及分段函數的畫法，同時考查利用圖象研究函數的性質，屬于基礎題．