Question

在四面體PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA與平面ABC所成的角等于60°，則PC與平面PAB所成的角的最大值是

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC．取AB的中點D，連接OD，PA．可知∠PAO是PA與平面ABC所成的角，其大小等于60°．不妨設PA=2，可得PO=

3

，PD=

3

．得到點O與D必然重合．當且僅當CD⊥AB時，PC與平面PAB所成的角取得最大值．

解答： 解：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC，
連接OA，OB，OC．取AB的中點D，連接OD，PA．
則∠PAO是PA與平面ABC所成的角，其大小等于60°．
不妨設PA=2=AB=PB=PC，則PO=

3

．
∴PD=

3

．
因此點O與D必然重合．
可知：點C在以O為圓心，AB為直徑的圓周上運動（去掉A，B兩點）．
當且僅當CD⊥AB時，PC與平面PAB所成的角取得最大值60°．
故答案為：60°．

點評：本題考查了線面垂直的性質、線面角、三角形的外心性質、含30°角的直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．