Question

已知函數f（x）=

a

x

-lnx，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=-x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，得到函數在x=1時的導數，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a的值代入函數解析式，求出導函數，得到導函數的零點，判斷原函數的單調性，從而求得原函數的極值點并求得極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

-lnx，
∴f′(x)=-

a

x2

-

1

x

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=-x，
∴f′（1）=-a-1=1，
∴a=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-

2

x

-lnx，則f′(x)=

2

x2

-

1

x

=

2-x

x2

，
令f′（x）=0，解得x=2，
又f（x）的定義域為（0，+∞），
當x∈（0，2）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）內為增函數，
當x∈（2，∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（2，∞）內為減函數．
由此知函數f（x）在x=2處取得極大值，為f（2）=-1-ln2．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，考查了利用導數求函數的極值，是中檔題．