Question

8．已知變量x，y滿足約束條件Ω：$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤a\end{array}\right.$，若Ω表示的區域面積為4，則z=3x-y的最大值為7．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，求出交點坐標，根據面積公式先求出a的值，利用z的幾何意義，結合數形結合即可得到結論

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得B（-1，2），
若x-y=a過B，則a=-1-2=-3，此時直線方程為y=x+3
∵Ω表示的區域面積為4，
∴直線x-y=a，即y=x-a的截距-a＜3．即a＞-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=a}\end{array}\right.$，得到A（2+a，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=a}\end{array}\right.$，得到C（$\frac{1+a}{2}，\frac{1-a}{2}$），
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$（2+a+1）•（2-$\frac{1-a}{2}$）=$\frac{1}{2}$（a+3）•$\frac{a+3}{2}$=4，
即（a+3）²=16，得a+3=4或a+3=-4，即a=1或a=-7（舍），
則直線為x-y=1，
由z=3x-y得y=3x-z，
平移直線y=3x-z由圖象可知當直線y=3x-z經過點A（3，2）時，直線y=3x-z的截距最小，
此時z最大為z=3×3-2=7，
故答案為：7

點評 本題主要考查線性規劃的應用，根據三角形的面積，求出a的值，然后利用z的幾何意義，利用數形結合是解決本題的關鍵．