Question

【題目】已知三棱錐中，與均為等腰直角三角形，且，，為上一點，且平面.

（1）求證：；

（2）過作一平面分別交， ， 于，，，若四邊形為平行四邊形，求多面體的表面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理，證得平面，再利用性質定理，即可證得，

（2）由線面垂直的判定定理和性質定理，得到，在中，求得，進而得到，即，再利用線面平行的性質定理得到，進而得到四邊形為矩形，同理求得，結合面積公式，即可求解.

（1）由，所以，

由平面，平面，可得，

又由，且平面，平面，所以平面，

又因為平面,所以.

（2）在等腰直角中，，所以，

又因為，可得平面，所以.

等腰中，由，可得，

又中，，，所以，

而，可得，故，

因為四邊形為平行四邊形，所以，可得平面，

又平面，且平面平面，所以，

由，可得，且有，

由平面，可得，

進而得到，所以四邊形為矩形，

同理可得，且，

可得，，

，.

所以所求表面積為.