Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是線段BC上一動點，Q是線段DC上一動點，$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{9}{4}$]
• B． [0，2]
• C． [0，3]
• D． [0，$\frac{9}{4}$]

Answer 1

分析 建立如圖所示平面直角坐標系，得到相應點及向量的坐標，把$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$利用數量積運算轉化為關于λ的函數求解．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標系，
∵AB=2，AD=DC=1，
∴A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），
∵$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$．
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$）
=（$\overrightarrow{AB}+$$λ\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}+{λ}^{2}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$
=$λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AD}$+${λ}^{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{DC}$
=$λ|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}|cos0°+λ|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|cos45°$$+{λ}^{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DC}|cos45°$$-{λ}^{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}|cos0°$
=2λ+$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}λ$$+\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}{λ}^{2}$-2λ²
=-λ²+3λ．
∵0≤λ≤1，∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-λ²+3λ∈[0，2]．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法，是中檔題．