Question

已知直線l₁：3x+4y-5=0，圓O：x²+y²=4．
（1）求直線l₁被圓O所截得的弦長；
（2）如果過點（-1，2）的直線l₂與l₁垂直，l₂與圓心在直線x-2y=0上的圓M相切，圓M被直線l₁分成兩段圓弧，其弧長比為2：1，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用點到直線的距離求得圓心到直線的距離，進而利用垂徑定理求得弦長．
（2）設出圓心M的坐標和半徑，根據題意建立等式求得a，則圓心坐標可得，利用點到直線的距離求得半徑，則圓的方程可得．

解答：解：（1）由題意得：圓心到直線l₁：3x+4y-5=0的距離d=

|0+0-5|

32+42

=1，由垂徑定理得弦長為2

3

（2）直線l2：y-2=

4

3

(x+1)
設圓心M為(a，

a

2

)圓心M到直線l₁的距離為r，即圓的半徑，由題意可得，圓心M到直線l₂的距離為

r

2

，所以有：

|4a- 3 2 a+10|

32+42

=r=

2×|3a+2a-5|

32+42

解得：a=

8

3

，所以圓心為M(

8

3

，

4

3

)，r=

10

3

，所以所求圓方程為：(x-

8

3

)2+(y-

4

3

)2=

100

9

或a=0，即圓方程為：x²+y²=4

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質．考查了點到直線距離公式的應用以及數形結合思想的運用．