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7.已知函數f(x)=4sinxcos(x+$\frac{π}{6}$)+1
(1)求函數f(x)的最小正周期,并寫出的單調遞增區間
(2)在△ABC,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=2,a=3,S△ABC=$\sqrt{3}$,求b2+c2的值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡f(x),求出它的最小正周期T與單調增區間;
(2)利用f(A)=2求出A的值,再利用正弦、余弦定理,即可求出b2+c2的值.

解答 解:(1)f(x)=4sinxcos(x+$\frac{π}{6}$)+1
=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$-4sin2xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$);
∴f(x)的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π,
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z,
∴函數f(x)的單調增區間為[-$\frac{π}{3}$+kπ,$\frac{π}{6}$+kπ],k∈Z;
(2)△ABC中,f(A)=2sin(2A+$\frac{π}{6}$)=2,
∴sin(2A+$\frac{π}{6}$)=1,
∴A=$\frac{π}{6}$;
又a=3,∴a2=b2+c2-2bccosA,
即9=b2+c2-2bccos$\frac{π}{6}$,
∴b2+c2=9+$\sqrt{3}$bc;
又S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$bc=$\sqrt{3}$,
∴bc=4$\sqrt{3}$,
∴b2+c2=9+$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=21.

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦、余弦定理的應用問題,是綜合性題目.

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