Question

【題目】已知動圓與圓：，圓都相內切，即圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于，兩個不同的點．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

試題分析：（1）動圓與圓：，圓都相內切，可得圓心的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中，從而可求得曲線的方程；（2）設，，，直線：，則直線：，與橢圓方程聯立利用韋達定理、弦長公式及兩點間距離公式可求得.

試題解析：（1）設圓心的坐標為，半徑為,

∴∴，

∴圓心的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中，，

∴，，，

故圓心的軌跡：．

（2）設，，，直線：，則直線：，

由可得∴

，

由可得，

∴，，

∴ ，

∴．

∴和的比值為一個常數，這個常數為．