Question

【題目】已知函數

（1）若，且在上單調遞增，求實數的取值范圍

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實數是存在的，且.

【解析】試題分析：（1）首先對函數求導，由已知在時恒成立，得，又由，即可求解正實數的取值范圍；（2）利用反證法，假設存在這樣的實數，則在時恒成立，可得，利用導數判斷函數，即可求解參數的取值.

試題解析：（1），由已知在時恒成立，即恒成立，分離參數得，又，所以正實數的取值范圍為.

（2）假設存在這樣的實數，則在時恒成立，且可以取到等號，故，即，故，解得，從而這樣的實數必須為正實數.

當時，由（1）知在上遞增，所以，此時不合題意.故這樣的必須滿足，此時，令，得的增區間為；令，得的減區間為.故，

整理得，即，設，則上式即為，構造，則等價于，由于為增函數，為減函數，故為增函數，觀察知，故等價于，與之對應的，綜上符合條件的實數是存在的，即.