Question

（2010•順德區模擬）已知數列{a_n}的前n項和是S_n，且滿足S_n=2a_n-1
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足a_n•b_n=2n-1，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）請閱讀如圖所示的流程圖，根據流程圖判斷該算法能否有確定的結果輸出？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件先由S_n=2a_n-1可得當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，兩式相減可得，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1a_n=2a_n-1，根據等比數列的通項公式可求；
（2）根據題中的條件先求出數列{a_n}的通項公式，然后求出b_n的表達式，寫出數列b_n的前n項和T_n的表達式，然后利用差項相減法便可求出T_n的值．
（3）沒有確定的結果輸出，原因如下：該流程圖的作用首先是求出數列{b_n}的前n項和T_n，然后找出數列{b_n}中使T_n＞6成立的第一項，并輸出T_n，n的值，而由（II）可得數列{b_n}的前n項和T_n＜6，不可能滿足T_n＞6從而得出結論．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-1得，s_n-1=2a_n-1-1---------1分
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）
∴an=2an-1，

an

an-1

=2
∴{a_n}是以2為公比的等比數列-------4分
令n=1得a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1---------5分
（2）由

a

n

•

b

n

=2n-1得

b

n

=

2n-1

2n-1

=(2n-1)•(

1

2

)n-1--------6分
∴

T

n

=1•(

1

2

)0+3•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1--------7分
∴

1

2

T

n

=1•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-8分
相減得：

1

2

T

n

=1+2•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+2(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

---9分
∴

T

n

=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

，-------10分
（3）沒有確定的結果輸出！-------11分
原因如下：該流程圖的作用首先是求出數列{b_n}的前n項和T_n，
然后找出數列{b_n}中使T_n＞6成立的第一項，并輸出T_n，n的值，-------12分
而由（2）可得數列{b_n}的前n項和T_n＜6，不可能滿足T_n＞6，-------13分
所以該程序將永遠執行下去沒有確定的結果輸出．

點評：本題主要考查了數列通項公式和前n項和的求法，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．