Question

若拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線上點(diǎn)P到的對稱軸的距離6，設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，±6）．根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)適合拋物線方程及點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為10，聯(lián)列方程組，解之可得p與x₀的值，從而得到本題的答案．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)到的對稱軸的距離6，
∴設(shè)該點(diǎn)為P，則P的坐標(biāo)為（x₀，±6），
∵P到拋物線的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）的距離為10，
∴由拋物線的定義，得x₀+

p

2

=10…（1），
∵點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，
∴2px₀=36…（2），
由（1）（2）聯(lián)立，解得p=2，x₀=2或p=18，x₀=1，
則拋物線方程為y²=4x或y²=36x．
故答案為：y²=4x或y²=36x

點(diǎn)評：本題已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和到對稱軸的距離，求拋物線的焦參數(shù)p，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．