Question

13．已知函數y=kcos（kx）在區間$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$單調遞減，則實數k的取值范圍為[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

Answer 1

分析 對k的符號進行討論，利用符合函數的單調性及余弦函數的單調性列不等式組求出f（x）的減區間，令區間$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$為f（x）單調減區間的子集解出k的范圍．

解答 解：當k＞0時，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得$\frac{2mπ}{k}$≤x≤$\frac{π}{k}$+$\frac{2mπ}{k}$，m∈Z，
∵函數y=kcos（kx）在區間$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥\frac{2mπ}{k}}\\{\frac{π}{3}≤\frac{π}{k}+\frac{2mπ}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k≥8m}\\{k≤3+6m}\end{array}\right.$，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．
當k＜0時，令-π+2mπ≤-kx≤2mπ，解得$\frac{π}{k}$-$\frac{2mπ}{k}$≤x≤-$\frac{2mπ}{k}$，m∈Z，
∵函數y=kcos（kx）在區間$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥\frac{π}{k}-\frac{2mπ}{k}}\\{\frac{π}{3}≤-\frac{2mπ}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k≤4-8m}\\{k≥-6m}\end{array}\right.$，m∈Z，∴-6≤k≤-4，或k=-12，
綜上，k的取值范圍是[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．
故答案為：[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

點評 本題考查了余弦函數的圖象與性質，分類討論思想，屬于中檔題．