Question

【題目】如圖所示，在正方體中， 是棱的中點．

（）求直線和平面所成角的正弦值．

（）在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先取AA1的中點M，連接EM，BM，根據中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，則EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角，設正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（2）在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，根據中位線定理可知EG∥A1B，從而說明A1，B，G，E共面，則BG面A1BE，根據FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形，則B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根據線面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．

試題解析：

（）如圖（a），取的中點，連接， ，因為是的中點，四邊形為正方形，所以，

又在正方體中， 平面，所以面，從而為直線在平面上的射影，

直線與平面所成的角．設正方體的棱長為，則， ，

于是在中， ，

即：直線與平面所成的角的正弦值為．

（）在棱上存在點，使平面，

事實上，如圖（b）所示，分別取和的中點、，連接、、、，

因，且，所以四邊形為平行四邊形，

因此，又， 分別為， 的中點，所以，從而，這說明， ， ， 共面，

所以平面，

因四邊形與，皆為正方形， 分別為和的中點，

所以，且，

因此四邊形為平行四邊形，所以，而平面， 平面，

故平面．