Question

已知：S_n=（a-1）+2（a²-1）+3（a³-1）+…+n（aⁿ-1）
（1）若a=-1，則S₁₀₀的值為多少？
（2）若a∈R，求S_n．

Answer 1

解：（1）若a=-1，則S₁₀₀=-2-6-…-198=-5000 4分
（2）i．a(chǎn)=0時(shí)，6分
ii，a=1時(shí)，S_n=0 8分
iii a≠0且a≠1時(shí)S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ-（1+2+3+…+n）
記T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ①aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹②
①-②得（1-a）T_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
化簡(jiǎn)得：14分
所以：16分
分析：（1）把a(bǔ)=-1代入前n項(xiàng)和中，可以發(fā)現(xiàn)是以-2為首項(xiàng)，-4為公差的等差數(shù)列的前50項(xiàng)的和，然后利用公式即可求出結(jié)果．
（2）分三種情況分析，當(dāng)a=0時(shí)，所求的式子為-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和；當(dāng)a=1時(shí)，S_n=0；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，利用分組和錯(cuò)位相減的方法求和，得出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的求和公式以及分組和錯(cuò)位相減的方法求和，對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列求和，一般采取錯(cuò)位相減的方法，屬于中檔題．