Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n=（a+1）n²+a，某三角形三邊之比為a₂：a₃：a₄，則該三角形最大角為

 

．

Answer 1

分析：根據等差數列的性質分別求出a₁，a₂，進而表示出等差數列的公差d，由首項和公差表示出等差數列的前n項和公式，與已知的前n項和相等即可求出a的值，得到三角形三邊之比，設三角形的最大角為α，然后由余弦定理即可求出cosα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出三角形最大角α的度數．

解答：解：令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a+4，
所以a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
所以S_n=n（2a+1）+

n(n-1)

2

（a+2）=

a+2

2

n²+（2a+1-

a+2

2

）n=（a+1）n²+a，
得到a=0，所以等差數列的首項a₁=1，公差d=2，
所以三角形三邊之比為3：5：7，設最大的角為α，三邊分別為3k，5k，7k，
所以cosα=

9k2+25k2-49k2

30k2

=-

1

2

，又α∈（0，180°），
則該三角形最大角α為120°．
故答案為：120°

點評：此題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用余弦定理及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．