Question

已知：S_n=（a-1）+2（a²-1）+3（a³-1）+…+n（aⁿ-1）
（1）若a=-1，則S₁₀₀的值為多少？
（2）若a∈R，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入前n項和中，可以發現是以-2為首項，-4為公差的等差數列的前50項的和，然后利用公式即可求出結果．
（2）分三種情況分析，當a=0時，所求的式子為-1為首項，-1為公差的等差數列的前n項的和；當a=1時，S_n=0；當a≠0且a≠1時，利用分組和錯位相減的方法求和，得出結果．

解答：解：（1）若a=-1，則S₁₀₀=-2-6-…-198=-5000    4分
（2）i．a=0時，Sn=-1-2-3-…-n=-

n(n+1)

2

6分
ii，a=1時，S_n=0   8分
iii a≠0且a≠1時S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ-（1+2+3+…+n）
記T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ①aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹②
①-②得（1-a）T_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
化簡得：Tn=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

14分
所以：Sn=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

-

(1+n)n

2

16分

點評：本題考查了等差數列的求和公式以及分組和錯位相減的方法求和，對于等差數列和等比數列乘積形式的數列求和，一般采取錯位相減的方法，屬于中檔題．