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已知函數f（x）=數學公式在（0，+∞）是增函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=數學公式，試判斷g（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明．

解：由題意（1）；
∵n∈N*∴n=1?f（x）=x；
（2）
設0＜x1＜x2，則；
若0＜x1＜x2≤m，則x1x2＜m2；若m≤x1＜x2，則x1x2＞m2；而x1x2＞0，x1-x2＜0
當0＜x1＜x2≤m時，g（x1）＞g（x2）；當m≤x1＜x2時，g（x1）＜g（x2）
因此，g（x）在（0，m]上單調遞減；g（x）在[m，+∞）上單調遞增；
分析：（1）利用函數在（0，+∞）是增函數，可建立不等式組，從而可求n的值，進而可求f（x）的解析式；
（2）先表達出g（x），再利用定義判斷并證明函數在（0，+∞）上的單調性
點評：本題以具體函數為載體，考查函數的性質，關鍵是正確理解與運用單調性的定義．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在[-1，1]上，設g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c2）兩個函數的定義域分別為A和B，若A∩B=∅，則實數c的取值集合為
（-∞，-1）∪（2，+∞）
（-∞，-1）∪（2，+∞）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
），且當x＜0時，f（x）＞0；
（1）驗證函數f（x）=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（2）判斷這樣的函數是否具有奇偶性和其單調性，并加以證明；
（3）若f（-
1
2
）=1，試解方程f（x）=-
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax在（O，2）內的值域是（a2，1），則函數y=f（x）的圖象是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在區間(-1，1)上，f(
1
2
)=-1，對任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又數列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2a
1+
a
2
n
．
（I）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（II）求證：數列{f（an）}是等比數列，并求f（an）的表達式；
（III）設cn=
n
2
bn+2，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，是否存在m∈N*，使得對任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g
2
2
m-
18
7
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

凸函數的性質定理為：如果函數f（x）在區間D上是凸函數，則對D內的任意x1，x2，…，xn都有
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
≤f(
x1+x2+…+xn
n
)．已知函數f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數，則
（1）求△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值．
（2）判斷f（x）=2x在R上是否為凸函數．

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