Question

4．已知常數 a、b 滿足 a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x），x∈（0，+∞）
（1）證明 y=f（x）在（0，+∞）內是增函數；
（2）若 f（x）恰在（1，+∞）內取正值，且 f（2）=lg2，求 a、b 的值．

Answer 1

分析 （1）根據定義法證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明，利用對數的運算性質、對數函數的性質、題意進行化簡、變形；
（2）根據函數的單調性和題意可得f（1）=0，結合f（2）=lg2列出方程，聯立后由條件求出a、b的值．

解答 證明：（1）任取0＜x₁＜x₂，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg（{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}）-lg（{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}）$=$lg\frac{{{a^{x_1}}-{b^{x_1}}}}{{{a^{x_2}}-{b^{x_2}}}}$，
∵x₂＞x₁，a＞1＞b＞0，∴${a^{x_2}}-{a^{x_1}}＞0，{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
∴${a^{x_2}}-{b^{x_2}}-（{a^{x_1}}-{b^{x_1}}）={a^{x_2}}-{a^{x_1}}+{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
${a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}＞{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}$，
∴$0＜\frac{{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}}＜1$，則$lg\frac{{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），函數y=f（x）在（0，+∞）內是增函數；
解：（2）由（1）可知：f（x）在（1，+∞）上是增函數，
∵f（x）恰在（1，+∞）取正值，
∴f（1）=lg（a-b）=0，則a-b=1，①
∵f（2）=lg（a²-b²）=lg2，∴a²-b²=2，②
聯立①②和a＞1＞b＞0解得，
$a=\frac{3}{2}，b=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了定義法證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論，對數的運算性質、對數函數的性質，以及方程思想，考查化簡、變形能力．