Question

12．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數），M為C₁上的動點，P點滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，點P的軌跡為曲線C₂．
（Ⅰ）求C₂的普通方程；
（Ⅱ） 設點（x，y）在曲線C₂上，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點的坐標為p（x，y），根據題意，用x、y表示出點M的坐標，然后根據M是C₁上的動點，代入求出C₂的參數方程即可；
（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，則x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ）即可，

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），則由條件知M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$）．由于M點在C₁上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{3}{2}cosα\\ \frac{y}{2}=sinα\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，消去參數α得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
即C₂的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
（Ⅱ） 由橢圓的參數方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，
則x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ），
其中tanφ=$\frac{3}{4}$．∴x+2y的取值范圍是[-5，5]．

點評 本題考查軌跡方程的求解，及參數方程的應用，屬于基礎題．