Question

17．若橢圓mx²+ny²=1與直線x+y-1=0交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$\frac{n}{m}$的值等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由直線x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx²+ny²=1得：（m+n）x²-2nx+n-1=0，利用韋達定理，確定中點M的坐標，再利用過原點與線段AB中點的直線的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得到結論．

解答 解：由直線x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx²+ny²=1得：（m+n）x²-2nx+n-1=0
設A、B的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有：x₁+x₂=$\frac{2n}{m+n}$
y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-（x₁+x₂）=$\frac{2m}{m+n}$，
∴AB的中點MM的坐標為（$\frac{n}{m+n}，\frac{m}{m+n}$），∴0M的斜率k=$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{n}{m}$的值等于$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是直線與橢圓方程的聯立．屬于基礎題．