Question

7．已知雙曲線x²-y²=4，直線l：y=k（x-1），試在下列條件下，求實數k的取值范圍：
（1）直線l與雙曲線有兩個公共點，
（2）直線l與雙曲線有且只有一個公共點．

Answer 1

分析 將直線方程代入雙曲線方程，化為關于x的方程，利用方程根的判別式，即可求得k的取值范圍．
（1）由1-k²≠0，且△＞0，解得即可；（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得即可．

解答 解：聯立直線y=k（x-1）和雙曲線：x²-y²=4，消去y得，（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
判別式△=4k⁴+4（1-k²）（k²+4）=4（4-3k²）．
（1）1-k²≠0，且△＞0，解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且k≠±1，
則k的取值范圍是：（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則k的取值范圍是k=±1，或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是將問題轉化為方程根的問題，運用判別式解決，注意只有一個公共點時，不要忽視了與漸近線平行的情況，屬于易錯題．