Question

15．已知過定點P（-4，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最大時，直線l的斜率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Answer 1

分析 由曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示在x軸上方以及含與x軸的交點半圓，設出直線l的方程，利用△AOB的面積取最大值時，OA⊥OB，求出圓心O到直線l的距離d=$\sqrt{2}$，從而求出直線的斜率k．

解答 解：由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$得x²+y²=4（y≥0），
∴曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示圓x²+y²=4在x軸上方的部分（含與x軸的交點）；
由題知，直線的斜率存在，設直線l的斜率為k（k＞0），
則直線方程為y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
當△AOB的面積取最大值時，OA⊥OB，
此時圓心O到直線l的距離d=$\sqrt{2}$，如圖所示；

∴d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故選：C．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的運用問題，解題的關鍵是根據△AOB的面積取到最大值時OA⊥OB，是中檔題．