Question

20．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的點，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）求證：D為AA₁中點；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面BDC所成角正弦值大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC₁兩兩互相垂直，分別CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，結合DC₁⊥BD，利用向量垂直的坐標運算求得D的豎坐標，可得D為AA₁的中點；
（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直線BC₁與平面BDC所成角正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC₁兩兩互相垂直，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的點，
∴D（1，0，h），C₁（0，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，2-h），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，h），
∵DC₁⊥BD，∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}=0$，得-1+h（2-h）=0，解得h=1，
∴D為AA₁的中點；
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
設面BDC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設直線BC₁與平面BDC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線BC₁與平面BDC所成角正弦值大小為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，訓練了利用空間向量求解線面角，是中檔題．