Question

如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四點共圓.

(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.

Answer 1

(1)見解析   (2)

(1)證明:因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因為B,E,F,C四點共圓,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.
(2)解:連接CE,因為∠CBE=90°,
所以過B,E,F,C四點的圓的直徑為CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC²=DB·BA=2DB²,
所以CA²=4DB²+BC²=6DB².
而CE²=DC²=DB·DA=3DB²,
故過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.