Question

設a，b，x，y∈R+，且x²+y²=r²（r＞0），求證：

a2x2+b2y2

+

a2y2+b2x2

≥r（a+b）．

Answer 1

分析：設z₁=ax+byi，z₂=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則

a2x2+b2y2

+

a2y2+b2x2

=|z₁|+|z₂|≥|z₁+z₂|，再利用|z₁+z₂|=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r，命題得證．

解答：證明：令復數z₁=ax+byi，復數z₂═bx+ayi（a，b，x，y∈R+）
，則問題化歸為證明：|z₁|+|z₂|≥r（a+b）．
設z₁=ax+byi，z₂=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則

a2x2+b2y2

+

a2y2+b2x2

=|z₁|+|z₂|≥|z₁+z₂|
=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r．
故不等式成立．

點評：本題考查復數代數形式及其幾何意義，不等式的證明方法．