Question

設a，b，x，y∈R⁺，且a²+b²=1，x²+y²=1，試證：ax+by≤1．

Answer 1

分析：先將已知兩等式相加，并重新進行變量組合，再利用均值定理得a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by，最后同向不等式相加即可證得所需結論

解答：證明：∵a²+b²=1，x²+y²=1
∴a²+b²+x²+y²=2
∵a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by
∴ax≤

a2+x2

2

，by≤

b2+y2

2

∴ax+by≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

=1
∴ax+by≤1（當且僅當a=x，且b=y時等號成立）

點評：本題考察了均值定理a²+b²≥2ab的應用，及不等式的基本性質的應用，屬基礎題