Question

設(shè)a，b，x，y∈R⁺，且a²+b²=1，x²+y²=1，試證：ax+by≤1．

Answer 1

證明：∵a²+b²=1，x²+y²=1
∴a²+b²+x²+y²=2
∵a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by
∴，
∴
∴ax+by≤1（當(dāng)且僅當(dāng)a=x，且b=y時(shí)等號(hào)成立）
分析：先將已知兩等式相加，并重新進(jìn)行變量組合，再利用均值定理得a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by，最后同向不等式相加即可證得所需結(jié)論
點(diǎn)評(píng)：本題考察了均值定理a²+b²≥2ab的應(yīng)用，及不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題