Question

【題目】已知函數f（x）＝ex．

（1）若f（x）的圖象在x＝a處切線的斜率為e﹣1，求正數a的值；

（2）對任意的a≥0，f（x）＞2lnxk恒成立，求整數k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）最大值為3．

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求解；

（2）原問題等價于，構造函數利用導數研究即可．

（1），

∵在x＝a處切線的斜率為e﹣1，

∴，

又a＞0，

∴a＝1；

（2）由題意，，即，

令，函數g（a）為一次函數，且為增函數，

∴g（a）≥g（0）＝ex﹣2lnx，

∴，

令h（x）＝ex﹣2lnx，（x＞0），則，

∴函數h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又x→0時，h′（x）→﹣∞，x＝1時，h′（1）＝e﹣2＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得h′（x）＜0，h（x）為減函數，x∈（x0，+∞），使得h′（x）＞0，h（x）為增函數，

∴，

令，易知，函數m（x）在（0，1）上單調遞減，

∴m（x）＞m（1）＝2，

∴，即k＜4，

故整數k的最大值為3．