Question

已知點A（3，3），O 為坐標原點，點P（x，y）坐標x，y滿足

y＞0 x-y+2＞0 2x-y＜0

則向量

OP

在向量

OA

方向上的投影的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據約束條件畫出可行域，利用向量的數量積將投影|

OP

|•cos∠AOP，轉化為

OP • OA

| OA |

，設z=x+y，再利用z的幾何意義求最值，即可得到|

OP

|•cos∠AOP的最值．

解答：解：在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（3，3），

OP

=（x，y），OA的長度為3

2

∴|

OP

|•cos∠AOP=

3x+3y

3 2

=

2

2

(x+y)，
令z=x+y，即z表示直線y=-x+z在y軸上的截距，
由圖形可知，當直線經過可行域中的點A時，z取到最小值，
由A（-2，0），這時z=-2，
∴|

OP

|•cos∠AOP的最小值為-

2

，
由

x-y+2=0 2x-y=0

，可得B（2，4）），這時z=6，
∴|

OP

|•cos∠AOP的最大值3

2

．
∴向量

OP

在向量

OA

方向上的投影的取值范圍是(-

2

，3

2

)．
故答案為：(-

2

，3

2

)．

點評：本題主要考查了向量的數量積、簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．