Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，3），B（5，1），P（2，1），點M是直線OP上的一個動點．
（Ⅰ）求|

PB

-

PA

|的值；
（Ⅱ）若四邊形APBM是平行四邊形，求點M的坐標；
（Ⅲ）求

MA

•

MB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的坐標運算和模的計算公式即可得出；
（Ⅱ）利用平行四邊形的性質、向量共線的性質及其坐標坐標運算即可得出；
（Ⅲ）利用向量共線和二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵點A（3，3），B（5，1），P（2，1），
∴

PB

=(3，0)，

PA

=(1，2)，
∴

PB

-

PA

=(2，-2)，
∴|

PB

-

PA

|=

22+(-2)2

=2

2

．
（Ⅱ）設點M（x，y）．
∵四邊形APBM是平行四邊形，∴

PA

=

BM

，
∴（1，2）=（x-5，y-1），∴

x-5=1 y-1=2

，解得

x=6 y=3

．
∴M（6，3）．
（Ⅲ）設點M（x，y）．
則

OM

=(x，y)．
由題意

OM

∥

OP

．
∴x-2y=0，即x=2y．
∴M（2y，y）．
∴

MA

•

MB

=（3-2y，3-y）•（5-2y，1-y）
=5y²-20y+18
=5（y-2）²-2．
∴當y=2時，

MA

•

MB

取得最小值-2，此時M（4，2）．

點評：熟練掌握向量的坐標運算和模的計算公式、平行四邊形的性質、向量共線的性質、向量共線定理和二次函數的單調性是解題的關鍵．