Question

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為a，則

b

c

+

c

b

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形的射影定理

專題：解三角形

分析：先利用余弦定理求得b，c和a的關(guān)系式，繼而根據(jù)三角形面積公式求得

1

2

bcsinA=

1

2

a²，形_{^{進(jìn)而表示出}}b²+c²，然后利用基本不等式求得

b

c

+

c

b

的最小值，根據(jù)

b

c

+

c

b

的表達(dá)式求得其最大值．

解答：解：由余弦定理b²+c²=a²+2cosAbc
由面積公式

1

2

bcsinA=

1

2

a²，
∴b²+c²=bc（sinA+2cosA）
∴

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=sinA+2cosA=

5

sin（A+φ），（tanφ=2）
∵

5

sin（A+φ）≤

5

，
∴

b

c

+

c

b

≤

5

，
∵

b

c

+

c

b

≥2

b c • c b

=2，
∴

b

c

+

c

b

的取值范圍為[2，

5

]
故答案為：[2，

5

]

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及基本不等式的基礎(chǔ)知識．考查了學(xué)生的綜合思維．