Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓：與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，圓的圓心為，為等邊三角形.

求拋物線的方程；

設(shè)圓與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上介于兩點(diǎn)之間的一點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線與圓交于兩點(diǎn)，在圓上是否存在點(diǎn)，使得直線均為拋物線的切線，若存在求出點(diǎn)坐標(biāo)（用表示）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】；存在,.

【解析】

(1)由題意，從而求得拋物線方程；

（2）設(shè)，可設(shè)出切線方程及，并設(shè)出過點(diǎn)的直線

與拋物線相切，從而聯(lián)立拋物線知，同理，可表示過點(diǎn)N的切線，從而計(jì)算兩直線相交的交點(diǎn)，于是可得答案.

是等邊三角形，

原點(diǎn)為中點(diǎn)，半徑

圓，半徑，拋物線

設(shè)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線（異于直線）交于點(diǎn)，并設(shè)切線，

由替換法則，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為

即記①

設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得

，即

根據(jù)韋達(dá)定理，

由①可得， ②

同理可得，

切線③

④

聯(lián)立與圓可得，

韋達(dá)定理可得

，

聯(lián)立③、④并代入可求得，代入③可求得 .

所以

即切線的交點(diǎn)在圓上，故存在圓上一點(diǎn)滿足均為拋物線的切線.