Question

19．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，$2\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，則$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得BC為圓O的直徑，畫出圖形，求出AC長度及$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{CB}$的夾角，代入投影公式求解．

解答 解：∵$2\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
則BC為圓O的直徑，如圖：

∵|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，∴△OAB的等邊三角形，
則OA=OB=AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
∴$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{CB}$夾角是30°，
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影是|$\overrightarrow{CA}$|cos30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中檔題．