Question

【題目】設等差數列的公差，數列的前項和為，滿足，且，.若實數，則稱具有性質.

（1）請判斷、是否具有性質，并說明理由；

（2）設為數列的前項和，，且恒成立.求證：對任意的，實數都不具有性質；

（3）設是數列的前項和，若對任意的，都具有性質，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2）證明見解析；（3）3，4．

【解析】

（1）求得，2，3，4，5，6，7時，數列的前7項，可得和首項，得到等差數列的通項，即可判斷、是否具有性質；

（2）由題意可得，代入等差數列的通項公式和求和公式，化簡整理可得，結合集合中元素的特點，即可得證；

（3）求得，2，3，4，的特點，結合，4，5，6，集合的特點，即可得到所求取值．

（1）設等差數列的公差，數列的前項和為，滿足，且，．，

可得時，，解得，

，

，即，

，即，

解得，，同理可得，，

，，，，

，，，，

，，

則不具有性質，具有性質；

（2）設為數列的前項和，若是單調遞增數列，

可得，

即為，

化為對為一切自然數成立，

即有，可得，

又，，

且，，可得中的元素大于，

則對任意的，，實數都不具有性質．

（3）設是數列的前項和，若對任意的，都具有性質，

由于，，

，

，，，，

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

顯然，6不成立，

故所有滿足條件的的值為3，4．