Question

如圖，已知球的半徑為定值R，球內接圓錐的高為h（h＞R），體積為V，
（1）寫出以h表示V的函數關系式V（h）；
（2）當h為何值時，V（h）有最大值，并求出該最大值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，設O′C=r，有OC=R，O′O=h-R，確定h與r的關系，即可以h表示V的函數關系式V（h）；
（2）利用基本不等式，即可求最大值．

解答：解：（1）連接OC，設O′C=r，有OC=R，O′O=h-R，
則有（h-R）²+r²=R²，即r²=2Rh-h²．
∴V（h）=

1

3

πr2h=

2πRh2

3

-

πh3

3

（R＜h＜2R）
（2）V（h）=

1

6

π(4R-2h)•h•h≤

π

6

•(

4R-2h+h+h

3

)3=

32

82

πR3
不等式取等號條件為4R-2h=h，即當h=

4

3

R時，V（h）有最大值

32

82

πR3．

點評：本題考查函數模型的建立，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．