Question

17．某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	a	$\frac{π}{3}$	b	$\frac{5π}{6}$	c
f（x）	0	5	d	-5	0

（I）請直接寫出上表中a，b，c，d的值，并求函數f（x）的解析式；
（II）把y=f（x）圖象上所有點向右平移θ（θ＞0）個單位長度，所得圖象恰好關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據表中數據，得出A、T、ω與a、b、c、d的值，再求出φ的值，寫出f（x）的解析式；
（II）根據圖象平移，寫出函數y的解析式，再根據圖象的對稱中心求出θ的最小正值即可．

解答 解：（I）根據表中已知數據，可知A=5，
又$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴T=π，
又$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；…（2分）
∴f（x）=5sin（2x+φ）；
由圖象的對稱性可知a=$\frac{π}{12}$，b=$\frac{7π}{12}$，c=$\frac{13π}{12}$，d=0；…（4分）
由f（$\frac{π}{3}$）=5sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=5，得sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=1，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$；
∴f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）；…（6分）
（II）由（I）知f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
把y=f（x）圖象上所有點所有點向右平移θ（θ＞0）個單位長度對應的解析式為
y=5sin[2（x-θ）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x-2θ-$\frac{π}{6}$）；…（8分）
又平移后對應圖象關于點（$\frac{5π}{12}$，0）成中心對稱，
∴sin（2×$\frac{5π}{12}$-2θ-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{2π}{3}$-2θ）=0；…（10分）
解得$\frac{2π}{3}$-2θ=kπ，
∴θ=-$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；…（11分）
∴θ的最小正值為$\frac{π}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了三角函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題，也考查了圖象平移的應用問題，是綜合性題目．