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9.設數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ≠-1),且a1、2a2、a3+3成等差數列.
(Ⅰ)求證:數列{an}為等比數列;
(Ⅱ)設bn=2an-1,求數列{bn}的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)an+1=λSn+1(n∈N*),可得an=λSn-1+1(n≥2),相減可得:an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,利用等比數列的通項公式即可得出.
(Ⅱ)由${a_3}={(λ+1)^2}$,且a1、2a2、a3+3成等差數列.可得4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,解得λ=1,可得an,進而得到bn.再利用等比數列的求和公式即可得出.

解答 (Ⅰ)證明:∵an+1=λSn+1(n∈N*),∴an=λSn-1+1(n≥2),
∴an+1-an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,
又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,
∴數列{an}是以1為首項,公比為λ+1的等比數列,
(Ⅱ)解:∵${a_3}={(λ+1)^2}$,且a1、2a2、a3+3成等差數列.
∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1,
∴${a_n}={2^{n-1}}$.
∴${b_n}=2{a_n}-1={2^n}-1$,
∴${T_n}=(2-1)+({2^2}-1)+({2^3}-1)+…+({2^n}-1)$,=$\frac{{2(1-{2^n})}}{1-2}-n$=2n+1-2-n.

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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