Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為（2

2

，0），且過點（2

3

，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓C交于不同兩點A、B，且|AB|=3

2

．若點P（x₀，2）滿足|

PA

|=|

PB

|，求x₀的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由已知得半長軸長和半焦距，進一步得到b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得m的范圍，再利用|AB|=3

2

求得m的值．結合橢圓可得點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點．
然后由求得的m的值分類求得AB的中垂線方程，進一步得到x₀的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a=2

3

，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

，得4x²+6mx+3m²-12=0  ①
∵直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，
∴△36m²-16（3m²-12）＞0，得m²＜16．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-12

4

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

- 3 4 m2+12

．
又由|AB|=3

2

，得-

3

4

m2+12=9，解之m=±2．
據題意知，點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點．
設AB的中點為E（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
當m=2時，E（-

3

2

，

1

2

）．
∴此時，線段AB的中垂線方程為y-

1

2

=-(x+

3

2

)，即y=-x-1．
令y=2，得x₀=-3．
當m=-2時，E（

3

2

，-

1

2

）．
∴此時，線段AB的中垂線方程為y+

1

2

=-(x-

3

2

)，即y=-x+1．
令y=2，得x₀=-1．
綜上所述，x₀的值為-3或-1．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用聯立直線方程與圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求解，要求學生具有較強的計算能力，是壓軸題．