Question

已知函數f（x）與g（x）的定義域為R，有下列5個命題：
①若f（x-2）=f（2-x），則f（x）的圖象自身關于直線y軸對稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；
③函數y=f（x+2）與y=f（2-x）的圖象關于y軸對稱；
④f（x）為奇函數，且f（x）圖象關于直線x=

1

2

對稱，則f（x）周期為2；
⑤f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，且g（x）=f（x-1），則f（x）周期為2．
其中正確命題的序號為

①②③④

．

Answer 1

分析：根據函數奇偶性、周期性的定義和函數圖象對稱性的定義，對各個選項依此加以推理論證，可得①②③④都是正確的命題，而⑤的結論應該是f（x）周期為4．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，令t=x-2，則2-x=-t，
由于f（x-2）=f（2-x），得f（t）=f（-t），所以函數f（x）是偶函數，
得f（x）的圖象自身關于直線y軸對稱，故①正確；
對于②，設f（m）=n，則函數y=f（x-2）的圖象經過點A（m+2，n）
而y=f（2-x）的圖象經過點B（-m+2，n），由于點A與點B是關于x=2對稱的點，
故y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，故②正確；
對于③，設F（x）=f（x+2），則f（2-x）=F（-x），由于F（x）與F（-x）圖象關于y軸對稱，
所以函數y=f（x+2）與y=f（2-x）的圖象關于y軸對稱，得③正確；
對于④，因為f（x）圖象關于直線x=

1

2

對稱，所以f（-x）=f（1+x），
結合函數為奇函數，得f（-x）=-f（x），故f（x+1）=-f（x）
由此可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），得f（x）是周期為2的周期函數，故④正確；
對于⑤，f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，且g（x）=f（x-1），
則由于g（x）+g（-x）=0，得f（x-1）+f（-x-1）=0，
又因為f（-x-1）=f（x+1），所以f（x-1）+f（x+1）=0，
由此可證出f（x+4）=f（x），得f（x）是周期為4的周期函數，故⑤不正確
故答案為：①②③④

點評：本題給出關于函數奇偶性、周期性和圖象對稱的幾個命題，要求我們找出其中的真命題．著重考查了函數的基本性質與函數圖象的作法等知識，屬于中檔題．