Question

已知函數f（x）與g（x）在R上有定義，且對任意的實數x，y，有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），f（1）=f（2）≠0，則g（1）+g（-1）=

1

．

Answer 1

分析：由題意，本題只給出了一個函數有關的恒等式，可采取賦值的方法逐步尋求g（1）+g（-1）的值

解答：解：令x=0，y=0．則f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0得f（0）=0
令y=0，x=1．則f（1）=f（1）g（0）-g（1）f（0）且f（1）≠0得g（0）=1
令x=0則f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y），將f（0）=0，g（0）=1代入
得f（-y）=-f（y），．
令x=1，y=-1代入f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）
f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）且f（-1）=-f（1）
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又f（1）=f（2）≠0
得g（1）+g（-1）=1
故答案為：1

點評：本題考查函數及其運用，利用所給的恒等式求值，一般采取賦值的辦法，逐步尋求答案，此題是能力型題，對答題者觀察判斷的能力要求較高，本題求解過程中得出f（x）為奇函數為奇函數，相當關鍵，這為提出取出公共因子求出g（1）+g（-1）帶來了方便．