Question

18．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$．
（1）$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（2）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（3）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$且方向相同，然后直接由數量積公式求值；
（2）由已知求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$，開方得答案；
（3）$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，可得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，再由數量積求夾角公式求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$且方向相同，因此$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|•cos0=\sqrt{2}$；
（2）∵$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×\sqrt{2}×cos60°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1+\sqrt{2}+2$=$3+\sqrt{2}$，因此$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3+\sqrt{2}}$；
（3）∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，整理得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，
令$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，因此cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{1•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角$θ=\frac{π}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查數量積求向量的夾角，是中檔題．