Question

不等式|x-2|≤m的解集為{x|-4≤x≤8}，又已知a，b，c∈R，且a+2b+3c=m，求a²+4b²+9c²的最小值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：根據不等式|x-2|≤m的解集為{x|-4≤x≤8}，求出m，利用柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）（a²+4b²+9c²）=3（a²+4b²+9c²），化簡得a²+4b²+9c²≥12，由此可得a²+4b²+9c²的最小值為12．

解答： 解：不等式|x-2|≤m 的解集為{x|2-m≤x≤2+m}，
又不等式|x-2|≤m的解集為{x|-4≤x≤8}，所以m=6，
可知a+2b+3c=6，根據柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（2b）²+（3c）²]
化簡得6²≤3（a²+4b²+9c²），即36≤3（a²+4b²+9c²）
∴a²+4b²+9c²≥12，
當且僅當a：2b：3c=1：1：1時，即a=2，b=1，c=

2

3

時等號成立
由此可得：當且僅當a=2，b=1，c=

2

3

時，a²+4b²+9c²的最小值為12

點評：本題給出等式a+2b+3c=m，求式子a²+4b²+9c²的最小值．著重考查了運用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號成立的條件等知識，屬于中檔題．