Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁⊥底面ABC，D是線段AB的中點，E是線段A₁B₁上任意一點，B₁C∩BC₁=O．
（1）求證：CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）求證：OD∥平面AC₁E．

Answer 1

分析 （1）證明：CD⊥AB，AA₁⊥CD，即可證明CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）證明OD∥AC₁，即可證明OD∥平面AC₁E．

解答 證明：（1）因為AC=BC，D是線段AB的中點，
所以CD⊥AB，…（2分）
又AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥CD，…（4分）
又AB∩AA₁=A，所以CD⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
（2）易知四邊形BCC₁B₁為平行四邊形，則O為BC₁的中點，…（8分）
又D是線段AB的中點，所以OD∥AC₁，…（10分）
而OD?平面AC₁E，AC₁?平面AC₁E，所以OD∥平面AC₁E…（12分）

點評 本題考查線面垂直、平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用相關定理是關鍵．