Question

13．已知函數$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx$在區間（1，2）上單調遞增，則實數a的取值范圍為（-∞，2）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a＜x²+x在（1，2）恒成立，令g（x）=x²+x，x∈（1，2），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若f（x）在（1，2）遞增，
則x²+x-a＞0在（1，2）成立，
即a＜x²+x在（1，2）恒成立，
令g（x）=x²+x，x∈（1，2），
則g′（x）=2x+1＞0，
則g（x）在（1，2）遞增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故a＜2，
故答案為：（-∞，2）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．