Question

點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角D－AC－B．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，則，．

      

因為二面角D－AC－B為直二面角，

 

又在中，，

．

． 

（Ⅱ）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．

∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小為．

解法二：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系O－xyz，

則，．

．

．

（Ⅱ）設平面OEF的法向量為．

由得

解得．

所以，．

又因為平面AOF的法向量為，   

．∴．

所以，二面角的大小為