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橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的上下焦點分別為F1,F2,在x軸的兩端點分別為A,B,四邊形F1AF2B是邊長為4的正方形.
(1)求橢圓方程;
(2)過點P(0,3)作直線l交橢圓與M,N兩點,且
MP
=3
PN
,求直線l的方程.
分析:(1)由四邊形F1AF2B是邊長為4的正方形,可得b,c的值,進而可求a值,即可求得橢圓方程;
(2)設出直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達定理,及
MP
=3
PN
,即可求直線l的方程.
解答:解:(1)由題意,b=c=2
2
,∴a2=b2+c2=16,∴橢圓方程為
y2
16
+
x2
8
=1
;
(2)設直線l的方程為y=kx+3,代入橢圓方程,可得(k2+2)x2+6kx-7=0
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
-6k
k2+2
,x1x2=
-7
k2+2

MP
=3
PN
,∴x1=-3x2,
∴-2x2=
-6k
k2+2
,-3x22=
-7
k2+2

(
-3k
k2+2
)2=
7
3(k2+2)

∴27k2=7k2+14
∴k2=
7
10

∴k=±
70
10

∴直線l的方程為y=±
70
10
x+3.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

P為橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上一點,A、B為圓O:x2+y2=b2上的兩個不同的點,直線AB分別交x軸,y軸于M、N兩點且
PA
OA
=0
,
PB
OB
=0
,O為坐標原點.
(1)若橢圓的準線為y=±
25
3
,并且
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
,求橢圓C的方程.
(2)橢圓C上是否存在滿足
PA
PB
=0
的點P?若存在,求出存在時a,b滿足的條件;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形,直線l:x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線.
(1)求橢圓方程;
(2)直線l交橢圓C于A、B兩點,若點P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
(O為坐標原點),判斷點P是否在橢圓C上,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的上、下焦點分別為F1,F2,在x軸上的兩個端點分別為A,B.且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形.
(1)求橢圓C的離心率及其標準方程;
(2)若直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異的兩點MN,且
MP
=3
PN
,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

附加題:如圖,過橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)上一動點P引圓x2+y2=b2的兩條切線PA,PB(A,B為切點).直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點.
①已知P點的坐標為(x0,y0),并且x0•y0≠0,試求直線AB的方程;    
②若橢圓的短軸長為8,并且
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
,求橢圓C的方程;
③橢圓C上是否存在P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直?若存在,求出存在的條件;若不存在,說明理由.

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